——陈克恭，甘肃省中国特色社会主义理论体系研究中心研究员，西北师范大学党委书记、研究员、博士生导师

       ——马如云，西北师范大学数学与统计学院院长、教授、博士生导师，第七届“秦元勋数学奖”获得者

导语

       在中国古代典籍中，作为六经之一的《周易》，具有非常特殊的地位，体现了中国人文最早和最深刻的智慧，所谓“人文之元，肇自太极，幽赞神明，易象为先”（《文心雕龙·原道》）。也正因此，孔子非常重视《周易》，不但作了《易传》，还感叹研究《周易》的时间不足：“加我数年，五十以学《易》，可以无大过矣。”（《论语·述而》）
       《荀子·大略》说：“善为《诗》者不说，善为《易》者不占，善为《礼》者不相。”《周易》绝不仅仅是一部占卜的书，而是中国古代文明智慧的结晶。德国人莱布尼茨是一个百科全书式的学者。他是律师，同时在微积分、拓扑学、符号思维、理性主义哲学、形式逻辑等领域，都是开拓者，他认为二进制“是具有世界普遍性的、最完美的逻辑语言”，而《周易》中伏羲所创设的八卦图就是二进制的创立者。丹麦的诺贝尔物理学奖获得者玻尔的量子力学与太极图的联系，则是人所共知的。遗憾的是，近代以来，中国学者多认为《周易》的科学智慧只是暗合近代西方科学，而不是本身就是科学思维的体现，这既源于中国古代文明的失落，也源于近代以来西方中心主义的泛滥，但归根结底，则是文化自信不足。
       数学是哲学的重要源头。《太极图的数学表达》一文的作者相信体现《周易》哲学逻辑智慧的太极图，绝不是随意性的美工图。数学家欧阳维诚先生长期从事数学与《周易》关系的研究，他认为陈克恭研究员的论文“从全新的角度提出了太极图的一种新的构图方法，并用一个初等函数给出了‘S分界线’的数学方程，同时给定了鱼眼位置的准确坐标，很有新意，全文的数学推导正确无误，也完全涵盖了太极图的哲学义理，对中国古代哲学研究方法的现代化具有一定的启示意义”。
       当然，中国古代太极图的画法千差万别，东南大学李世澂教授研究明人来知德太极图附带卦图的《先天画卦图》，认为附带卦图的太极图的画法是有规则的，也可以列出“S分界线”。而不附带卦图的《古太极图》的画法，历来缺乏标准，陈克恭研究员的研究，可以让我们明白，不附带卦图的太极图也理应体现“S分界线”，是可以用函数来描述的。这样，既揭示出太极图所具有的科学性和创造性，也可以提升我们对以《周易》为代表的中国古代哲学的深刻性的认识。

       （清华大学历史系教授  廖名春）

一

       人历三圣，世历三古的《周易》经传极深研几，体大思精，代表着中国古代哲学的最高智慧。孔子说：“圣人立象以尽意，设卦以尽情伪，系辞焉以尽其言。变而通之以尽利，鼓之舞之以尽神。”《易传·系辞上》解释说：“乾坤，其《易》之缊邪？乾坤成列，而《易》立乎其中矣。乾坤毁，则无以见《易》。《易》不可见，则乾坤或几乎息矣。是故形而上者谓之道，形而下者谓之器，化而裁之谓之变，推而行之谓之通，举而错之天下之民谓之事业。是故夫象，圣人有以见天下之赜，而拟诸其形容，象其物宜，是故谓之象。圣人有以见天下之动，而观其会通，以行其典礼，系辞焉以断其吉凶，是故谓之爻。极天下之赜者存乎卦，鼓天下之动者存乎辞，化而裁之存乎变，推而行之存乎通。”
       以乾坤立象，是《周易》会通天道与人道的基本路径，而太极图正是体现“一阴一阳”互补原理自洽性的最准确的表现形式。自宋代理学家周敦颐著《太极图说》以后，在《周易》阐释史上，太极图就具有了独特的意义。真理总是历久弥新。我们甚至可以从量子力学的创始人玻尔与太极图之间千丝万缕的联系中清晰地体味到太极图的意义。玻尔努力用太极图表达量子场的对应原理和并协原理，并把太极图刻成徽章悬挂，这至少说明太极图与玻尔的学说具有共通性。玻尔的“并协原理”强调“互斥即互补”，“对立者是相互补充的”，正是《易传·系辞上》“一阴一阳之谓道”所彰显的对立统一的原理。“对应原理”解释量子现象与经典物理之间的对应关系，如果否定这一原理与《周易》的哲学体系之间有任何联系，那就意味着否定了《周易》思想所具有的广度和深度。事实上长期以来，国内学术界一直存在否定玻尔“并协原理”与太极图之间有密切关系的观点。这种观点的存在或多或少都源于对太极图科学性认识的欠缺，从一个侧面反映出20世纪以来对中国古代文明缺乏应有的敬畏，以及对中国古代哲学思想的科学性自信之不足。

       太极图的S曲线，并不是随意性的美工图，它实际上贯彻了以勾股定理为基础的中国古代数学智慧。
       中国人对勾股定理的描述，最少可以上溯至三千年前西周初年的商高，而古巴比伦人应用勾股定理，大约在公元前三千年前。公元前六世纪古希腊人毕达哥拉斯对勾股定理的证明，使勾股定理在欧洲有了“毕达哥拉斯定理”的名称。如果从勾股定理入手，通过单位正方形内的内切圆，应用阿基米德定理的杠杆平衡原理和模糊数学的核心思想，可以用一个初等函数精确地表达太极图的S曲线。这一论证将表明，太极图是可以用数学语言表达的，并不是无标准方程、无标准几何图形的。其意义不仅在于充分表达了中国太极图的科学性，也充分表达了太极图反映事物存在和发展的本根依据。

   原刊于《光明日报》2016年10月17日 16版，有删节

      《光明日报》陈克恭  马如云： 太极图的数学表达 【原文查看】    

（编辑：伊力亚）